xe^x的積分包括不定積分和定積分。不定積分求的是函數(shù)f(x)=xe^x的原函數(shù)，可以記為F(x)+C，它是一個函數(shù)系統(tǒng)。而定積分求的是曲線f(x)=xe^x與x軸在區(qū)間[a,b]上，與x=a,和x=b圍成的圖形面積。
求定積分一般是建立在不定積分的基礎(chǔ)上的，根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于F(b)-F(a). 因此我們先來探究如何求xe^x的不定積分，即求∫xe^xdx.
求不定積分一般基于常用的的積分公式，觀察積分∫xe^xdx，可以找到近似的積分公式∫e^xdx=e^x+C. 因?yàn)榈谝患虑?，就是要把∫xe^xdx轉(zhuǎn)化為含有∫e^xdx的式子。為了達(dá)到這個目的，需要進(jìn)行如下兩步變形：
1、湊微分，就是把e^xdx轉(zhuǎn)化成de^x。即∫xe^xdx=∫xde^x。湊微分是最常用的積分方法，一定要掌握好。它的原理是微分的逆過程，即根據(jù)de^x=e^xdx，就有e^xdx=de^x. 不僅要掌握，而且要熟練常用的湊微分公式。比如cosxdx=dsinx, (secx)^2dx=dtanx, dx/x=dlnx等。
2、分部積分法，就是積分等于被積函數(shù)與微分變量的積減去被積函數(shù)和微分變量交換位置后的積分，即∫xde^x=xe^x-∫e^xdx. 雖然分部積分法有公式，不過如果能夠用自己的語言把公式描述出來，運(yùn)用上自然就不會有什么障礙了。因此老黃經(jīng)常鼓勵學(xué)生，要學(xué)會用自己的語言去描述定義、定理、法則和公式等。
現(xiàn)在就達(dá)到“把∫xe^xdx轉(zhuǎn)化為含有∫e^xdx的式子”的目的了，并且可以利用基本積分公式，得到原函數(shù)的不定積分，其過程歸納如下：
∫xe^xdx=∫xde^x=xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C=F(x)+C.(最后的表示法是為了后面描述的方便)
在沒有指定具體區(qū)間的情況下，我們?nèi)^(qū)間[a,b]上的定積分∫(a->b)xe^xdx=F(b)-F(a)=(b-1)e^b-(a-1)e^a.
如果加強(qiáng)理解，舉一個具體的例子。假如求[0,1]上的定積分，則∫(0->1)xe^xdx=F(1)-F(0)=1. 即函數(shù)f(x)=xe^x，與x=1，以及兩條坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為1.
現(xiàn)在你會求xe^x的積分了嗎？
